Question

consider the work shown to determine the value of \\(x\\) in the following triangle.

since this right triangle has a \\(30^{\circ}\\) angle, it is a \\(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\\) special triangle. the hypotenuse is \\(\sqrt{3}\\) times larger than the longer leg.

\\x = 5\sqrt{5} \sqrt{3}\\
\\x = 5\sqrt{15}\\

which statement best describes the work shown?

• the hypotenuse is not \\(\sqrt{3}\\) times longer than the longer leg.
• the value for \\(x\\) was not simplified properly.
• this is not a \\(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\\) special triangle.
• there was no error made.

correctly solve for \\(x\\). if there was no error, enter the value for \\(x\\) from the work above.

\\(x =\\)

Explanation:

Identificar el error en el trabajo mostrado

Usando los conceptos de Razones trigonométricas y Resolución de triángulos rectángulos, analizamos las relaciones en un triángulo especial de \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\).

• El cateto adyacente al ángulo de \(30^\circ\) (cateto largo) mide \(5\sqrt{3}\).
• En un triángulo \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\), si el cateto corto (opuesto a \(30^\circ\)) mide \(a\), el cateto largo mide \(a\sqrt{3}\) y la hipotenusa mide \(2a\).
• Por lo tanto, la relación entre la hipotenusa \(x\) y el cateto largo es:

$$ x = \frac{2}{\sqrt{3}} \times (\text{cateto largo}) $$

• La afirmación del trabajo mostrado dice: "The hypotenuse is \(\sqrt{3}\) times larger than the longer leg" (La hipotenusa es \(\sqrt{3}\) veces más grande que el cateto largo). Esto es incorrecto, por lo que la primera opción describe el error.

Resolver correctamente para \(x\)

Usando la definición de la razón trigonométrica del coseno para el ángulo de \(30^\circ\):

$$ \cos(30^\circ) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{5\sqrt{3}}{x} $$

Sabiendo que \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

$$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{x} $$

Multiplicando de forma cruzada para despejar \(x\):

$$ x \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3} \implies x = 10 $$

Answer:

Question 1

• The hypotenuse is not \(\sqrt{3}\) times longer than the longer leg. (Correct answer)
• The value for \(x\) was not simplified properly.
• This is not a \(30^\circ - 60^\circ - 90^\circ\) special triangle.
• There was no error made.

Question 2

\(x =\) <blank>10</blank>