Question

completing the square
solve by completing the square.
$5x^2 - 40x = 920$
$x = \square \pm \square \sqrt{\square}$

Explanation:

Step1: Dividir por el coeficiente de \(x^2\)

Divide la ecuación \(5x^2 - 40x = 920\) por 5:
\(\frac{5x^2}{5}-\frac{40x}{5}=\frac{920}{5}\)
Simplifica: \(x^2 - 8x = 184\)

Step2: Completar el cuadrado

El coeficiente de \(x\) es \(-8\), su mitad es \(-4\), y su cuadrado es \(16\). Suma 16 a ambos lados:
\(x^2 - 8x + 16 = 184 + 16\)

Step3: Escribir como cuadrado perfecto

El lado izquierdo es \((x - 4)^2\), y el derecho es \(200\):
\((x - 4)^2 = 200\)

Step4: Extraer la raíz cuadrada

Toma la raíz cuadrada de ambos lados:
\(x - 4 = \pm\sqrt{200}\)

Step5: Simplificar \(\sqrt{200}\)

\(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\), así que:
\(x = 4 \pm 10\sqrt{2}\) (o notando que \(200 = 100\times2\), pero en el formato dado, descomponemos \(\sqrt{200}\) como \(10\sqrt{2}\), pero si se deja \(\sqrt{200}\) sin simplificar más, o se simplifica \(200 = 100\times2\), pero el problema pide \(x=\square\pm\square\sqrt{\square}\), entonces:

De \((x - 4)^2 = 200\), \(x - 4=\pm\sqrt{200}\), luego \(x = 4 \pm\sqrt{200}\), pero \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\), así que también \(x = 4 \pm 10\sqrt{2}\). Pero si se mantiene \(\sqrt{200}\), o se simplifica el número dentro:

Wait, en el paso 3, \(184 + 16 = 200\), correcto. Entonces:

\(x - 4=\pm\sqrt{200}\), entonces \(x = 4 \pm\sqrt{200}\), pero \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\), así que \(x = 4 \pm 10\sqrt{2}\). Pero el formato es \(x=\square\pm\square\sqrt{\square}\), así que:

Si se escribe con \(\sqrt{200}\), entonces \(x = 4 \pm 1\sqrt{200}\), pero \(\sqrt{200}\) se puede simplificar como \(10\sqrt{2}\), así que \(x = 4 \pm 10\sqrt{2}\) (donde el último cuadrado es 2, pero wait, no: \(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\), así que \(x = 4 \pm 10\sqrt{2}\), o si se deja \(\sqrt{200}\), entonces \(x = 4 \pm 1\sqrt{200}\), pero el número dentro es 200. Pero quizás el problema espera simplificar \(\sqrt{200}\) como \(10\sqrt{2}\), así que:

Answer:

\(x = \boldsymbol{4} \pm \boldsymbol{10}\sqrt{\boldsymbol{2}}\) (o si se mantiene \(\sqrt{200}\), \(x = 4 \pm 1\sqrt{200}\), pero la simplificación de \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\) es más clara. Entonces los espacios son: 4, 10, 2 (o 4, 1, 200). Pero al simplificar \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\), entonces:

\(x = 4 \pm 10\sqrt{2}\), así que los valores son 4, 10, y 2 (o 4, 1, 200). Pero la forma más simplificada es con \(\sqrt{2}\), así que:

\(x = \boldsymbol{4} \pm \boldsymbol{10}\sqrt{\boldsymbol{2}}\)