Question

1. in △abc, m∠a = 3x, m∠b = 4x - 19, and m∠c = 3x - 1. which statement is true?

a. (overline{ab}) is the longest side of △abc
b. △abc is an isosceles triangle.
c. (overline{ac}) is the longest side of △abc
d. △abc is an obtuse triangle.

1. if the lengths of two sides of a triangle are 6 and 8, the length of the third side may be

a. 7 b. 2 c. 14 d. 15

1. for which measures of the sides of △abc is angle b the largest angle of the triangle?

a. ab = 2, bc = 6, ac = 7
b. ab = 6, bc = 12, ac = 8
c. ab = 16, bc = 9, ac = 10
d. ab = 18, bc = 14, ac = 5

Explanation:

Problem 4

Step1: Sumar los ángulos internos

En un triángulo, la suma de los ángulos internos es \(180^{\circ}\). Entonces, \(m\angle A + m\angle B + m\angle C=180\). Sustituyendo los valores dados: \(3x+(4x - 19)+(3x - 1)=180\).

Step2: Simplificar la ecuación

Combinar términos: \(3x+4x+3x-19 - 1=180\), es decir \(10x-20 = 180\).

Step3: Resolver para \(x\)

Sumando 20 a ambos lados: \(10x=180 + 20=200\). Luego, dividiendo por 10: \(x = 20\).

Step4: Calcular los ángulos

\(m\angle A=3x=3\times20 = 60^{\circ}\), \(m\angle B=4x-19=4\times20-19=80 - 19=61^{\circ}\), \(m\angle C=3x - 1=3\times20-1=59^{\circ}\).

Step5: Relacionar ángulos y lados

En un triángulo, el lado opuesto al ángulo más grande es el más largo. El ángulo más grande es \(\angle B\), y el lado opuesto a \(\angle B\) es \(\overline{AC}\).

Step1: Aplicar la desigualdad triangular

Si \(a = 6\) y \(b = 8\), entonces \(|a - b|\lt c\lt a + b\). Calculando: \(|6 - 8|=2\) y \(6 + 8=14\), así que \(2\lt c\lt14\).

Step2: Verificar las opciones

• Opción A: \(2\lt7\lt14\), es válida.
• Opción B: \(2 = 2\), no satisface \(2\lt c\).
• Opción C: \(14 = 14\), no satisface \(c\lt14\).
• Opción D: \(15\gt14\), no satisface \(c\lt14\).

Step1: Aplicar la relación lado - ángulo

En un triángulo, el ángulo más grande está opuesto al lado más largo. Queremos que \(\angle B\) sea el ángulo más grande, entonces el lado opuesto a \(\angle B\) (\(AC\)) debe ser el más largo.

Step2: Verificar las opciones

• Opción A: \(AC = 7\), \(BC = 6\), \(AB = 2\). El lado más largo es \(AC\), pero \(\angle B\) no es opuesto a \(AC\) (está opuesto a \(AC\) el ángulo \(B\) solo si se cumple la relación, pero \(AB = 2\), \(BC = 6\), \(AC = 7\), el ángulo opuesto a \(AC\) es \(\angle B\), pero \(BC\lt AC\), no.
• Opción B: \(AB = 6\), \(BC = 12\), \(AC = 8\). El lado más largo es \(BC\), el ángulo opuesto a \(BC\) es \(\angle A\), no.
• Opción C: \(AB = 16\), \(BC = 9\), \(AC = 10\). El lado más largo es \(AB\), el ángulo opuesto a \(AB\) es \(\angle C\), no.
• Opción D: \(AB = 18\), \(BC = 14\), \(AC = 5\). El lado más largo es \(AB\), el ángulo opuesto a \(AB\) es \(\angle C\), no.

Wait, no, volviendo. La regla es: en \(\triangle ABC\), el ángulo \(B\) está opuesto al lado \(AC\). Si queremos que \(\angle B\) sea el más grande, entonces \(AC\) debe ser el lado más largo.

• Opción A: \(AC = 7\), \(BC = 6\), \(AB = 2\). \(AC\) es el más largo, y \(\angle B\) está opuesto a \(AC\).

Answer:

C. \(\overline{AC}\) is the longest side of \(\triangle ABC\)

Problem 5