Question

1. \

$$\begin{cases} -7x_1 + 7x_2 - 2x_3 = 5, \\\\ 7x_1 - 8x_2 + 3x_3 = -6, \\\\ 3x_1 - 3x_2 + x_3 = -2. \\end{cases}$$

Explanation:

Step1: 消去\(x_1\)，将前两个方程相加

将第一个方程\(-7x_1 + 7x_2 - 2x_3 = 5\)和第二个方程\(7x_1 - 8x_2 + 3x_3 = -6\)相加，可得：

$$
LATEXBLOCK0
$$

Step2: 对第三个方程变形，结合\(x_3 = x_2 - 1\)消去\(x_3\)

第三个方程为\(3x_1 - 3x_2 + x_3 = -2\)，将\(x_3 = x_2 - 1\)代入可得：

$$
LATEXBLOCK1
$$

Step3: 为了方便计算，可设\(x_2 = t\)（\(t\)为任意实数），表示出\(x_1\)和\(x_3\)

由\(x_1=\frac{2x_2 - 1}{3}\)，\(x_3 = x_2 - 1\)，当\(x_2 = t\)时：
\(x_1=\frac{2t - 1}{3}\)，\(x_3 = t - 1\)
如果需要整数解，我们可以尝试找合适的\(t\)值。从\(3x_1 - 2x_2=-1\)，我们可以尝试\(x_2 = 1\)，则\(3x_1-2\times1=-1\)，\(3x_1=1\)，\(x_1=\frac{1}{3}\)不符合整数要求；再试\(x_2 = 2\)，则\(3x_1-2\times2=-1\)，\(3x_1 = 3\)，\(x_1 = 1\)，此时\(x_3=2 - 1 = 1\)。
我们来验证这个解是否满足原方程组：

• 对于第一个方程：\(-7\times1 + 7\times2 - 2\times1=-7 + 14 - 2 = 5\)，符合。
• 对于第二个方程：\(7\times1 - 8\times2 + 3\times1=7 - 16 + 3=-6\)，符合。
• 对于第三个方程：\(3\times1 - 3\times2 + 1=3 - 6 + 1=-2\)，符合。

Answer:

\(x_1 = 1\)，\(x_2 = 2\)，\(x_3 = 1\)（如果是求整数解的话，通解为\(

$$\begin{cases}x_1=\frac{2t - 1}{3}\\x_2 = t\\x_3 = t - 1\end{cases}$$

\)，\(t\in R\)）