Question

1. (25 points) a rectangular pen for a pet is under construction using 100 feet of fencing.

(a) express the area a of the rectangular pen as a function of x, where x is the length of the pen.
(b) for what value of x is the area the largest?
(c) what is the maximum area?

Explanation:

Part (a)

Step1: 确定矩形的周长公式

矩形周长\( P = 2\times(长 + 宽) \)，已知周长\( P = 100 \)英尺，长为\( x \)，设宽为\( y \)，则\( 100 = 2(x + y) \)。

Step2: 求解宽\( y \)关于\( x \)的表达式

对\( 100 = 2(x + y) \)化简，两边除以2得\( 50 = x + y \)，移项得\( y = 50 - x \)。

Step3: 确定面积公式并代入\( y \)

矩形面积\( A = 长\times宽 = x\times y \)，将\( y = 50 - x \)代入，得\( A(x) = x(50 - x)= -x^2 + 50x \)，其中\( 0 < x < 50 \)（因为长和宽为正）。

Step1: 识别函数类型

面积函数\( A(x)= -x^{2}+50x \)是二次函数，形式为\( y = ax^2 + bx + c \)，其中\( a = -1 < 0 \)，函数图象开口向下，顶点处取得最大值。

Step2: 求顶点的横坐标

二次函数顶点横坐标公式为\( x = -\frac{b}{2a} \)，对于\( A(x)= -x^{2}+50x \)，\( a = -1 \)，\( b = 50 \)，代入得\( x = -\frac{50}{2\times(-1)} = 25 \)。

Step1: 代入顶点横坐标求面积

已知当\( x = 25 \)时面积最大，将\( x = 25 \)代入面积函数\( A(x)= -x^{2}+50x \)。

Step2: 计算面积

\( A(25)= -(25)^{2}+50\times25 = -625 + 1250 = 625 \)。

Answer:

\( A(x)= -x^{2}+50x \)（\( 0 < x < 50 \)）

Part (b)