Question

1. on the set of axes below, congruent parallelograms abcd and rstu are graphed. which sequence of transformations maps abcd onto rstu? (1) a reflection over the x - axis followed by a translation ten units to the left and one unit up (2) a translation four units down followed by a reflection over the y - axis (3) a reflection over the y - axis followed by a translation of two units down (4) a translation ten units to the left followed by a reflection over the x - axis 20) as shown in the diagram below, \\( \overline { jkl } \parallel \overline { mnop } \\), \\( \overline { krn } \\), and \\( \overline { or } \cong \overline { on } \\). if \\( m\angle por = 116 ^ { \circ } \\), what is \\( m\angle lkn? \\) (1) \\( 58 ^ { \circ } \\) (2) \\( 116 ^ { \circ } \\) (3) \\( 122 ^ { \circ } \\) (4) \\( 128 ^ { \circ } \\)

Explanation:

Problema 19

Explicación:

Paso 1: Analizar la reflexión sobre el eje \(x\)

La reflexión sobre el eje \(x\) cambia el signo de la coordenada \(y\) de un punto \((x,y)\) a \((x, - y)\). Luego, una traslación de \(10\) unidades hacia la izquierda (restar \(10\) a la coordenada \(x\)) y \(1\) unidad hacia arriba (sumar \(1\) a la coordenada \(y\)). Pero si se toman puntos de \(ABCD\) (por ejemplo, \(A\)) y se aplican estas transformaciones, no se obtiene \(RSTU\).

Paso 2: Analizar la traslación y reflexión de la opción (2)

Una traslación de \(4\) unidades hacia abajo (restar \(4\) a la coordenada \(y\)) y luego una reflexión sobre el eje \(y\) (cambia el signo de la coordenada \(x\) de un punto \((x,y)\) a \((-x,y)\)). Si se toman puntos de \(ABCD\) (por ejemplo, \(A=(2,4)\)), traslación: \((2,4 - 4)=(2,0)\), reflexión: \((- 2,0)\) que no coincide con \(RSTU\).

Paso 3: Analizar la reflexión y traslación de la opción (3)

Una reflexión sobre el eje \(y\) (cambia el signo de la coordenada \(x\) de un punto \((x,y)\) a \((-x,y)\)) y luego una traslación de \(2\) unidades hacia abajo (restar \(2\) a la coordenada \(y\)). Tomando un punto de \(ABCD\) como \(A=(2,4)\), reflexión: \((-2,4)\), traslación: \((-2,4 - 2)=(-2,2)\). Si se toman otros puntos (por ejemplo, \(B=(6,4)\), reflexión: \((-6,4)\), traslación: \((-6,4 - 2)=(-6,2)\); \(D=(2,3)\), reflexión: \((-2,3)\), traslación: \((-2,3 - 2)=(-2,1)\); \(C=(6,3)\), reflexión: \((-6,3)\), traslación: \((-6,3 - 2)=(-6,1)\)) se obtiene que \(ABCD\) se mapea a \(RSTU\).

Paso 4: Analizar la traslación y reflexión de la opción (4)

Una traslación de \(10\) unidades hacia la izquierda (restar \(10\) a la coordenada \(x\)) y luego una reflexión sobre el eje \(x\) (cambia el signo de la coordenada \(y\) de un punto \((x,y)\) a \((x, - y)\)). Tomando un punto de \(ABCD\) como \(A=(2,4)\), traslación: \((2-10,4)=(-8,4)\), reflexión: \((-8,-4)\) que no coincide con \(RSTU\).

Respuesta:

(3)

Problema 20

Explicación:

Paso 1: Encontrar el ángulo \(∠NOR\)

Como \(∠POR + ∠NOR=180^{\circ}\) (ángulos adyacentes y suplementarios), y \(m∠POR = 116^{\circ}\), entonces \(m∠NOR=180^{\circ}-116^{\circ}=64^{\circ}\).

Paso 2: Usar la igualdad de triángulos

Como \(\overline{OR}\cong\overline{ON}\), el triángulo \(ORN\) es isósceles, entonces \(∠ORN = ∠ONR\). Y \(∠ORN+∠ONR + ∠NOR = 180^{\circ}\), como \(∠ORN = ∠ONR\), entonces \(∠ORN=\frac{180^{\circ}-∠NOR}{2}=\frac{180 - 64}{2}=58^{\circ}\).

Paso 3: Usar la propiedad de ángulos opuestos por el vértice y paralelas

\(∠LKR\) y \(∠ORN\) son ángulos opuestos por el vértice, entonces \(∠LKR = ∠ORN = 58^{\circ}\). Y como \(\overline{JKL}\parallel\overline{MNOP}\), \(∠LKN\) y \(∠LKR\) son ángulos suplementarios (\(∠LKN+∠LKR = 180^{\circ}\)). Entonces \(m∠LKN=180^{\circ}-58^{\circ}=122^{\circ}\).

Respuesta:

(3)

Answer:

Problema 19

Explicación:

Paso 1: Analizar la reflexión sobre el eje \(x\)

La reflexión sobre el eje \(x\) cambia el signo de la coordenada \(y\) de un punto \((x,y)\) a \((x, - y)\). Luego, una traslación de \(10\) unidades hacia la izquierda (restar \(10\) a la coordenada \(x\)) y \(1\) unidad hacia arriba (sumar \(1\) a la coordenada \(y\)). Pero si se toman puntos de \(ABCD\) (por ejemplo, \(A\)) y se aplican estas transformaciones, no se obtiene \(RSTU\).

Paso 2: Analizar la traslación y reflexión de la opción (2)

Una traslación de \(4\) unidades hacia abajo (restar \(4\) a la coordenada \(y\)) y luego una reflexión sobre el eje \(y\) (cambia el signo de la coordenada \(x\) de un punto \((x,y)\) a \((-x,y)\)). Si se toman puntos de \(ABCD\) (por ejemplo, \(A=(2,4)\)), traslación: \((2,4 - 4)=(2,0)\), reflexión: \((- 2,0)\) que no coincide con \(RSTU\).

Paso 3: Analizar la reflexión y traslación de la opción (3)

Una reflexión sobre el eje \(y\) (cambia el signo de la coordenada \(x\) de un punto \((x,y)\) a \((-x,y)\)) y luego una traslación de \(2\) unidades hacia abajo (restar \(2\) a la coordenada \(y\)). Tomando un punto de \(ABCD\) como \(A=(2,4)\), reflexión: \((-2,4)\), traslación: \((-2,4 - 2)=(-2,2)\). Si se toman otros puntos (por ejemplo, \(B=(6,4)\), reflexión: \((-6,4)\), traslación: \((-6,4 - 2)=(-6,2)\); \(D=(2,3)\), reflexión: \((-2,3)\), traslación: \((-2,3 - 2)=(-2,1)\); \(C=(6,3)\), reflexión: \((-6,3)\), traslación: \((-6,3 - 2)=(-6,1)\)) se obtiene que \(ABCD\) se mapea a \(RSTU\).

Paso 4: Analizar la traslación y reflexión de la opción (4)

Una traslación de \(10\) unidades hacia la izquierda (restar \(10\) a la coordenada \(x\)) y luego una reflexión sobre el eje \(x\) (cambia el signo de la coordenada \(y\) de un punto \((x,y)\) a \((x, - y)\)). Tomando un punto de \(ABCD\) como \(A=(2,4)\), traslación: \((2-10,4)=(-8,4)\), reflexión: \((-8,-4)\) que no coincide con \(RSTU\).

Respuesta:

(3)

Problema 20

Explicación:

Paso 1: Encontrar el ángulo \(∠NOR\)

Como \(∠POR + ∠NOR=180^{\circ}\) (ángulos adyacentes y suplementarios), y \(m∠POR = 116^{\circ}\), entonces \(m∠NOR=180^{\circ}-116^{\circ}=64^{\circ}\).

Paso 2: Usar la igualdad de triángulos

Como \(\overline{OR}\cong\overline{ON}\), el triángulo \(ORN\) es isósceles, entonces \(∠ORN = ∠ONR\). Y \(∠ORN+∠ONR + ∠NOR = 180^{\circ}\), como \(∠ORN = ∠ONR\), entonces \(∠ORN=\frac{180^{\circ}-∠NOR}{2}=\frac{180 - 64}{2}=58^{\circ}\).

Paso 3: Usar la propiedad de ángulos opuestos por el vértice y paralelas

\(∠LKR\) y \(∠ORN\) son ángulos opuestos por el vértice, entonces \(∠LKR = ∠ORN = 58^{\circ}\). Y como \(\overline{JKL}\parallel\overline{MNOP}\), \(∠LKN\) y \(∠LKR\) son ángulos suplementarios (\(∠LKN+∠LKR = 180^{\circ}\)). Entonces \(m∠LKN=180^{\circ}-58^{\circ}=122^{\circ}\).

Respuesta:

(3)