Question

(16 points) lillustration montre une vue de dessus dune grosse boule de neige roulée au sol par un certain nombre de personnes aux points a et b. chaque personne qui pousse la boule en a génère une force de 28,4253 n selon une orientation de 39,2894°, tandis que chaque personne qui pousse la boule en b génère une force de 34,1321 n selon une orientation de 121,8274°. combien de personnes doivent pousser simultanément à chacun des points pour déplacer la boule à laide dune force de 209,4755 n selon une orientation de 79,5484°?

Explanation:

Step1: Déterminer les composantes x et y des forces

Pour la force en A :

• Composante x : \( F_{Ax} = 28.4253\cos(39.2894^{\circ}) \)
• Composante y : \( F_{Ay} = 28.4253\sin(39.2894^{\circ}) \)

Pour la force en B :

• Composante x : \( F_{Bx} = 34.1321\cos(121.8274^{\circ}) \)
• Composante y : \( F_{By} = 34.1321\sin(121.8274^{\circ}) \)

Step2: Calculer les composantes x et y de la force totale

Soit \( n_A \) le nombre de personnes en A et \( n_B \) le nombre de personnes en B.

• Composante x : \( n_A F_{Ax}+n_B F_{Bx}=209.4755\cos(79.5484^{\circ}) \)
• Composante y : \( n_A F_{Ay}+n_B F_{By}=209.4755\sin(79.5484^{\circ}) \)

Step3: Résoudre le système d'équations

On a un système de deux équations avec deux inconnues \( n_A \) et \( n_B \).
En utilisant les valeurs numériques :

• \( F_{Ax}\approx28.4253\times0.7745\approx21.92 \)
• \( F_{Ay}\approx28.4253\times0.6327\approx17.99 \)
• \( F_{Bx}\approx34.1321\times(- 0.5270)\approx - 18.09 \)
• \( F_{By}\approx34.1321\times0.8490\approx28.98 \)
• \( 209.4755\cos(79.5484^{\circ})\approx209.4755\times0.1812\approx38.06 \)
• \( 209.4755\sin(79.5484^{\circ})\approx209.4755\times0.9834\approx206.00 \)

Le système devient :
\( 21.92n_A - 18.09n_B=38.06 \)
\( 17.99n_A+28.98n_B=206.00 \)

On résout ce système. En multipliant la première équation par \( 28.98 \) et la deuxième par \( 18.09 \) :

• \( 21.92\times28.98n_A-18.09\times28.98n_B = 38.06\times28.98 \)
• \( 17.99\times18.09n_A+28.98\times18.09n_B=206.00\times18.09 \)

En additionnant les deux équations :
\( (21.92\times28.98 + 17.99\times18.09)n_A=38.06\times28.98+206.00\times18.09 \)
\( (635.24 + 325.44)n_A=1103.08+3726.54 \)
\( 960.68n_A = 4829.62 \)
\( n_A=\frac{4829.62}{960.68}\approx5 \)

En remplaçant \( n_A = 5 \) dans la première équation :
\( 21.92\times5-18.09n_B=38.06 \)
\( 109.6 - 18.09n_B=38.06 \)
\( - 18.09n_B=38.06 - 109.6=-71.54 \)
\( n_B=\frac{71.54}{18.09}\approx4 \)

Answer:

Il faut \( 5 \) personnes en A et \( 4 \) personnes en B.